题目

题型：期中题难度：来源：

如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，BE平分∠ABC交AC于点E，EF⊥AB，垂足为F。
（1）求EF的长度；
（2）作CD⊥AB，垂足为D，CD与BE相交于G，试说明：CE=CG；
（3）连结FG，试说明：四边形CEFG是菱形。

答案

解：（1）∵BE平分∠ABC，∠ACB=90°，EF⊥AB，垂足为F，
∴EF=CE，
在△BFE与△BCE中，∠C=∠BFE=90°，
，
∴△BFE≌△BCE，
∴BF=BC=8，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
∴AF=AB-BF=2，
设EF=x，则CE=x，AE=6-x，
在直角△AEF中，由勾股定理，得AE²=EF²+AF²，
∴（6-x）²=x²+2²，
解得x=；
（2）∵在△BCE中，∠CEB=90°-∠CBE，
∠CGE=∠DGB=90°-∠DBG，∠CBE=∠DBG，
∴∠CEB=∠CGE，
∴CE=CG；（3）∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF，
∵EF=CE，CE=CG，
∴EF=CG，
∴四边形CEFG是平行四边形，
又∵CE=CG，
∴平行四边形CEFG是菱形。