题目

题型：解答题难度：困难来源：模拟题

已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax²+bx（a≠0）。
（1）若a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域上是增函数，求实数b的取值范围；
（2）在（1）的结论下，设函数ψ （x）=e^2x+be^x，x∈[0，ln2]，求函数ψ （x）的最小值（用含b的式子表示最小值）；
（3）设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）的图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点 M、N，问是否存在点R，使C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）依题意的定义域为（0，+∞）
因为h（x）在（0，+∞）上是增函数
所以对x∈（0，+∞）恒成立
所以
因为x>0，
所以（当且仅当时取等号）
所以b的取值范围是。
（2）设则函数化为

∵
所以当，即时，函数y在[1，2]上是增函数，
当t=1时，y_min=b+1
当，即-4＜b＜-2时，当时，
；
当，即b≤-4时，函数y在[1，2]上是减函数，
当t=2时，y_min=4+2b
综上所述，当时，φ（x）的最小值为b+l；
当-4＜b＜-2时，φ（x）的最小值为；
当b≤-4时，φ（x）的最小值为4+2b。
（3）设点P、Q的坐标是（x₁，y₁）、（x₂，y₂），且0＜x₁＜x₂，
则点M、N的横坐标为
C₁在点M处的切线斜率为
C₂在点N处的切线斜率为
假设C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行，
则k₁=k₂，即
所以

所以
设
则
令
则
因为u>1，
所以r"（u）>0
所以r（u）在（1，+∞）上单调递增
故r（u）>r（1）=0。
则这与①矛盾，故假设不成立，
故不存在点R，使C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行。