题目

题型：期末题难度：来源：

（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF=90°。求证：BE=CF；
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH=90°，EF=4。求GH的长；
（3）已知点E，H，F，G分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH=90°，EF=4，直接写出下列两题的答案：
①如图3，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，求GH的长；
②如图4，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，求GH的长（用n的代数式表示）。

答案

解：（1）证明：如图1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠EAB+∠AEB=90°，
∵∠EOB=∠AOF=90°，
∴∠FBC+∠AEB=90°，
∴∠EAB=∠FBC，
∴△ABE≌△BCF，
∴BE=CF；
（2）如图2，过点A作AM//GH交BC于M，
过点B作BN//EF交CD于N，AM与BN交于点O′，
则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，
∴EF=BN，GH=AM，
∵∠FOH=90°，AM//GH，EF//BN，
∴∠NO′A=90°，
故由（1）得，△ABM≌△BCN，
∴AM=BN，
∴GH=EF=4；
（3）①8；②4n。