已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC= 90°．点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB延长线于点M．点F在线段ME上，且满足 - 初中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：期末题难度：来源：

已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC= 90°．点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF =AD，MF =MA．
（1）若∠MFC =120°，求证：AM=2MB；
（2）求证：

答案

证明：（1）连结 MD.
  ∵点E是DC的中点,MF⊥DC,
∴MD =MC.
又∵AD=CF,MF=MA,
∴△AMD≌△FMC.
∵∠MAD=∠MFC=120o.
∴AD∥BC, ∠ABC= 90o.
∴∠BAD= 90^。∴∠MAB=30^。
  在Rt△AMB中,∠MAB =30^。,

（2）∵△AMD≌△FMC,
∴ ∠ADM=∠FCM.
∵AD∥BC,∴ ∠ADM=∠CMD
∴∠CMD= ∠FCM.
∵MD =MC,ME⊥DC,
∴∠DME=∠CME=∠CMD.

核心考点

试题【已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC= 90°．点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB延长线于点M．点F在线段ME上，且满足】；主要考察你对全等三角形的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

如图，正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条平行线 l₁、l₂、l₃、l₄上，这四条直线中：相邻两条之间的距离依次为 h₁、h₂、h₃(h₁>0，h₂>0 , h₃ >0) .
(1)求证：h₁ = h₃；
(2)设正方形ABCD的面积为 S，求证：S=(h_l+h₂)² +h₁²；
(3)若h_l+ h₂ = 1，当 h₁变化时. 说明正方形ABCD 的面积S 随h₁ 的变化情况.

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数学课堂上，徐老师出示了一道试题：如图所示，在正三角形ABC中M是BC边（不含端点B，C）上任意一点.P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点，若∠AMN=60°，求证：AM=MN。
（1）经过思考，小明展示了一种正确的证明过程，请你将证明过程补充完整。证明：在AB上截取EA=MC，连接EM，得△AEM
∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB-∠B，∠AMN=∠B=60°，
∴∠1=∠2
又∵CN平分∠ACP，
∴∠4=∠ACP=60°
∴∠MCN=∠3+∠4=120° ①
又∵BA=BC，EA=MC，
∴BA-EA=BC-MC
即：BE=BM
∴△BEM为等边三角形
∴∠6=60°
∴∠5=180°-6=120°。②
由①②得∠MCN=∠5
在△AEM和△MCN中
∴（），（），（），
∴△AEM≌△MCN（ASA）
∴AM=MN。
（2）若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A₁B₁C₁D₁”（如图），N₁是∠D₁C₁P₁的平分线上一点，则当∠A₁M₁N₁=90°时，结论A₁M₁=M₁N₁是否还成立？
（3）若将题中的“正三角形ABC”改为“正多边形A_nB_nC_nD_n…X_n”，请你猜想：当∠A_nM_nN_n=（）时，结论A_nM_n=M_nN_n仍然成立？（直接写出答案，不需要证明）

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已知△ACB与△DFE是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10 cm，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图①所示的形状，使点B，C，F，D在同一条直线上，且点C与点F重合，将图①中的△ACB绕点C顺时针旋转到图②的位置，点E在AB边上，AC交DE于点G，则线段FG的长为（）cm（保留根号）．

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如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧．AB∥ED，AB=CE，BC= ED.求证：AC= CD．

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已知一个等腰三角形的底边长为5，这个等腰三角形的腰长为x，则x的取值范围是[ ]
A．0＜x＜

B．x≥

C．x＞

D．0＜x＜10

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