题目

题型：同步题难度：来源：

如图，正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条平行线 l₁、l₂、l₃、l₄ 上，这四条直线中：相邻两条之间的距离依次为 h₁、h₂、h₃(h₁>0，h₂>0 , h₃ >0) .    
(1)求证：h₁ = h₃；   
 (2)设正方形ABCD的面积为 S，求证：S=(h_l+h₂)² +h₁²；
(3)若h_l+ h₂ = 1，当 h₁变化时. 说明正方形ABCD 的面积S 随h₁ 的变化情况.

答案

解： (1)过A点作AF⊥l₃ 分别交 1₂、1₃ 于点 E、F，过C点作CG⊥l₃ 交l₂ 于点G，    
∵l₂ //l₁,
∴∠2 =∠3，
∵∠1+∠2= 90°，∠4+∠3 =90°，
∴∠1=∠4 又∵∠BEA = ∠DGC=90°，BA=DC，
∴△BEA≌△DGC，
∴AE= CG，即h₁=h₃.    
(2) ∵∠FAD +∠3 = 90° . ∠4 + ∠3 =90°
∴∠FAD =∠4 又
∵ ∠AFD=∠DGC 90°，  AD =DC，
∴△AFD≌△DGC.
∴DF=CG，
∵AD²=AF²+FD²，
∴S=(h_l +h₂)² +h₁².
(3)由题意.得
所以=又，
解得
∴当 0< h₁<时，S随h₁的增大而减小；
当h₁=时.S取得最小值；
当时，S随h₁的增大而增大.