题目

题型：期末题难度：来源：

如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120 °的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60 °．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并给出证明

答案

解：CN=MN+BM
证明：在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
又△BDC为等腰三角形，且∠BDC=120°，
∴BD=DC，∠DBC=∠BCD=30°，
∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°，
在△MBD和△ECD中，
，
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD=DE，∠MDB=∠EDC，
又∠MDN=60°，∠BDC=120°，
∴∠EDN=∠BDC﹣（∠BDN+∠EDC）=∠BDC﹣（∠BDN+∠MDB）=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，
∴∠MDN=∠EDN，
在△MND与△END中，
，
∴△MND≌△END（SAS），
∴MN=NE，
∴CN=NE+CE=MN+BM．