题目

题型：浙江省竞赛题难度：来源：

对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：
第一次操作，分别延长AB、BC、CA至点A₁、B₁、C₁，使得A₁B=2AB，B₁C=2BC，C₁A=2CA，顺次连接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁，记其面积为S₁；第二次操作，分别延长A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁至点A₂、B₂、C₂，使得A₂B₁=2A₁B₁，B₂C₁=2B₁C₁，C₂A₁=2C₁A₁，顺次连接A₂、B₂、C₂，得到△A₂B₂C₂，记其面积为S₂；…；按此规律继续下去，可得到△A_nB_nC_n．
（1）求面积S₁；
（2）求面积S_n．

答案

解：连BC₁，∵C₁A=2CA，
∴=2S_△ABC，
同理：=2=4_S△ABC，
∴=6S_△ABC，
同理：=6S_△ABC，
∴=19S_△ABC，
即S₁=19S₀，
∵S₀=S_△ABC=1，
∴S₁=19；
（2）同理，S₂=19S₁=19²S₀，S₃=19³S₀，∴S_n=19ⁿS₀=19ⁿ．