题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分12分）如图，过A（8，0）、B（0，）两点的直线与直线交于点C．平行于轴的直线从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向右平移，到C点时停止；分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边△DEF，设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线的运动时间为t（秒）．
（1）直接写出C点坐标和t的取值范围；  
（2）求S与t的函数关系式；
（3）设直线与轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）C（4，）
的取值范围是：0≤≤4 
（2）∵D点的坐标是（，），E的坐标是（，）
∴DE=-=    ……………………4分
∴等边△DEF的DE边上的高为： 
∴当点F在BO边上时：=，∴="3 " ……………………5分
① 当0≤<3时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为：- …7分
S= 
② 当3≤≤4时，重叠部分为等边三角形
S= 
（3）存在，P（，0） 

解析

(本题12 分)解（1）C（4，） ……………………………2分
的取值范围是：0≤≤4 ……………………………… 3分
（2）∵D点的坐标是（，），E的坐标是（，）
∴DE=-=    ……………………4分
∴等边△DEF的DE边上的高为： 
∴当点F在BO边上时：=，∴="3 " ……………………5分

③ 当0≤<3时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为：- …7分
S=
=
= ………………………………8分
④ 当3≤≤4时，重叠部分为等边三角形
S= …………………  9分
= ……………………10分
（3）存在，P（，0） ……………………12分
说明：∵FO≥，FP≥，OP≤4
∴以P，O，F以顶点的等腰三角形，腰只有可能是FO，FP,
若FO=FP时，=2（12-3），=，∴P（，0）