题目

题型：期末题难度：来源：

如图，直线与x轴、y轴分别相交于A、C两点；分别过A、C两点作轴、轴的垂线相交于B点。P为BC边上一动点。
（1）求点C的坐标；
（2）点P从点C出发沿着CB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，过点P作PE∥AC交AB于B，设运动时间为t秒。用含t的代数式表示△PBE的面积S；
（3）在（2）的条件下点P的运动过程中，将△PBE沿着PE折叠（如图所示），点B在平面内的落点为
点D。当△PDE与△ABC重叠部分的面积等于时，试求出点P的坐标。

答案

解：（1）当x=0时，y=6，
    ∴点C的坐标是（0，6）。

（2）与x轴交于点A（8，0），
   ∵∠AOC=90°，BA⊥OA，BC⊥OC， 
   ∴四边形OABC是矩形，
   ∴BC=OA=8，AB=OC=6，
   ∴BP=8-CP=8-t，
   ∵PE∥AC，
   ∴△BPE∽△BCA，
   ∴，即，
   ∴。

（3）设PD、DE与AC分别交于点N、M，
   ∴DP=BP=8-t，DE=BE=，
   ∵PE∥AC，
   ∴，，
   又∵，
   ∴，
   ∴，
   ∴当点P为CB的中点时，
   ，点D恰好落在CA上，
  ①当0＜t ≤4时，， 
   ，
    ∵MN∥PE，
    ∴，
    ∴，
    ∴
                =，
解得：，>4（舍去）
    ∴P点的坐标为（，6）；
  ②当4≤t<8时，=，
解得：，>8（舍去）
  ∴P点的坐标为（6，6）；
即：当重叠部分的面积等于时，
P点的坐标为（，6）或（6，6）。