题目

题型：同步题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，连结OA，抛物线从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到点A时停止移动。
（1）求线段OA所在直线的函数解析式；
（2）设抛物线顶点的横坐标为m，
  ①用m的代数式表示点P的坐标；
  ②当m为何值时，线段PB最短；
（3）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）设OA所在直线的函数解析式为，
∵A（2，4），
∴2k=4，即k=2，
∴OA所在直线的函数解析式为y=2x。
（2）①∵顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动，
∴（0≤m≤2）。
∴顶点M的坐标为（m，2m）。
∴抛物线函数解析式为，
∴当x=2时，=（0≤m≤2）。
∴点P的坐标是（2，）；
②∵PB==，
又∵0≤m≤2，
∴当m=1时，PB最短。

（3）当线段PB最短时，此时抛物线的解析式为，
假设在抛物线上存在点Q，使。
设点Q的坐标为（x，），
①当点Q落在直线OA的下方时，过P作直线PC//AO，交y轴于点C，
∵，，
，
∵点P的坐标是（2，3），
，

∴=，
解得，即点Q（2，3），

相等。，
②当点Q落在直线OA的上方时，









∴此时抛物线上存在点，

综上所述，抛物线上存在点，