题目

题型：北京模拟题难度：来源：

如图，抛物线y=ax²+bx+c的顶点为A（0，1），与x轴的一个交点B的坐标为（2，0），点P在抛物线上，它的横坐标为2n（0<n<1），作PC⊥x轴于C，PC交射线AB于点D。
（1）求抛物线的解析式；
（2）用n的代数式表示CD、PD的长，并通过计算说明与的大小关系；
（3）若将原题中“0<n<1”的条件改为“n>1”，其他条件不变，请通过计算说明（2）中的结论是否仍然成立。

答案

解：（1）如图（1）∵抛物线y=ax²+bx+c的顶点为A（0，1），经过（2，0）点，
∴y=ax²+1，又4a+1=0，解得a=-，∴抛物线的解析式为y=-x²+1；（2）设直线AB的解析式为y=kx+b
∵A（0，1），B（2，0）， b=1，2k+b=0，解得：k=-1/2，b=1，
∴直线AB的解析式为y=-1/2x+1，
∵点P在抛物线上，它的横坐标为2n（0<n<1），
∴点P的坐标为（2n，1-n²），且点P在第一象限，
又∵PC⊥x轴于C，PC交射线AB于点D，
∴x_D=OC=2n，y_D=-1/2×2n+1=1-n，且点D在第一象限，
∴CD=-n，PD=y_P-y_D=（1-n²）-（1-n）=n
-n²=n（1-n），

，（3）当n>1时，P、D两点在第四象限，且P点在D点下方（如图（2）），
y_D>y_P点，P的坐标为（2n，1-n²）
∵x_D=OC=2n
∴y_D=-1/2×2n+1=1-n
∵D点在第四象限，
∴CD=-y_D=n-1，
PD=y_D-y_P=（1-n）-（1-n²）=n（n-1），
∵n>1，
∴，
，仍然成立。