题目

题型：北京模拟题难度：来源：

如图，抛物线y=ax²+bx-3，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， 且OB=OC=3OA。
（1）求抛物线的解析式；
（2）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由；
（3）直线y=-x+1交y轴于D点，E为抛物线顶点，若∠DBC=α，∠CBE=β，求α-β的值。

答案

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-3与y轴交C点（0，-3），且OB=OC=3OA，
∴A（-1，0），B（3，0），代人y= ax²+bx-3，得

解得a=1，b=-2，
∴y=x²-2x-3； （2）①当∠P₁AC=90°
可证△P₁AO∽△ACO，
∴Rt△P₁AO中，tan ∠P₁AO=tan∠ACO=，P₁（0，），
②同理：如图，当∠P₂CA=90°时，P₂（9，0），
③当∠CP₃A=90°时，P₃（0，0），
综上，坐标轴上存在三个点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形为直角三角形，分别是 P₁（0，），P₂（9，0），P₃（0，0）；  （3）由y=-x+1，得D（0，1），
由y=x²-2x -3，得顶点 E（1，-4），
∴
∵BC²+CE²=BE²
∴△BCE为直角三角形，
∴tanβ=CE/CB=，
又∵Rt△DOB中，tan∠DBO=OD/OB=，
∴∠DBO=∠β，
∴∠α-∠β=∠α-∠DBO=∠OBC=45°。