题目

题型：北京模拟题难度：来源：

如图，点A在x轴的负半轴上，OA=4，AB=OB=，将△ABO绕坐标原点O顺时针旋转90°，得到△A₁B₁O，再继续旋转90°，得到△A₂B₂O，抛物线y=ax²+bx+3经过B、B₁两点。
（1）求抛物线的解析式；
（2）点B₂是否在此抛物线上？请说明理由；
（3）在该抛物线上找一点P，使得△PBB₂是以BB₂为底的等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标；（4）在该抛物线上，是否存在两点M、N使得原点O是线段MN的中点？若存在，直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）过点B作BE⊥OA于点E，
∵AB=OB，
∴OE =OA=2，
∴BE=
∴B₁（1，2），B₂（2，-1），
∵抛物线y=ax²+bx+3经过B、B₁两点，
由4a-2b+3=1，a+b+3=2，
解得a=-，b=-，
∴抛物线的解析式为y=-x²-x+3；
（2）∵当x=2时，y=-×2²-×2+3=-≠-1，
∴点B₂（2，-1）不在此抛物线上；
（3）点P应在线段BB₂的垂直平分线上，由题意可知，OB⊥BB₂且平分BB₂，
∴点P在直线OB₁上，
可求得OB₁所在直线的解析式为y=2x，
又点P是直线y=2x与抛物线的交点，
由y=2x，，
解得x₁=1，y₁=2，
x₂=-9/2，y₂=-9，
∴符合条件的点P有两个，P₁（1，2）即点B₁和P₂（-9/2，9）；
（4）存在和。