题目

题型：江苏模拟题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、B（-3，1）、C（-3，0）、O（0，0），将此矩形沿着过E（-，1）、 F（-，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′。
（1）求折痕所在直线EF的解析式；
（2）一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式；
（3）能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由。

答案

解：（1）设EF的解析式为y=kx+b，把E（-，1）、F（，0）的坐标代入

 解得：
所以，直线EF的解析式为y=x+4；
（2）设矩形沿直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′
∵BE=3-=2；
∴B′E=BE=2
在Rt△AEB′中，根据勾股定理，求得：
AB′=3，
∴B′的坐标为（0，-2）
设二次函数的解析式为：y=ax²+bx+c，
把点B（-3，1）、E（-，1）、B′（0，-2）代入

解得：
∴二次函数的解析式为y=；
（3）能，可以在直线EF上找到点P，连接C，交直线EF于点P，
连接BP，由于B′P=BP，此时，点P与C、B′在一条直线上，
所以，BP+PC=B′P+PC的和最小，由于BC为定长，所以满足△PBC周长最小。
设直线B′C的解析式为：y=kx+b 

所以，直线B′C的解析式为
又∵P为直线B′C和直线EF的交点，
∴解得：
∴点P的坐标为（，）。