题目

题型：江苏模拟题难度：来源：

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ，点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H，当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动，设BP的长为x，△HDE的面积为y。
（1）求证：△DHQ∽△ABC；
（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；
（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？

答案

解：（1）∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，
∴∠HQD=∠C=90°，HD=HA，
∴∠HDQ=∠A，
∴△DHQ∽△ABC，（2）①如图1，当时， ED=10-4x，QH=，
此时，
当时，最大值，
②如图2，当时， ED=4x-10，QH=，
此时
当x=5时，最大值，
∴y与x之间的函数解析式为，
y的最大值是；
（3）①如图1，当时，若DE=DH，
∵DH=AH=， DE=，
∴，
显然ED=EH，HD=HE不可能；
②如图2，当时，若DE=DH，，；
若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x=5；
若ED=EH，则△EDH∽△HDA，
∴，，
∴当x的值为时，△HDE是等腰三角形。