题目

题型：湖北省中考真题难度：来源：

一开口向上的抛物线与x轴交于A（m-2，0），B（m+2，0）两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC。
（1）若m为常数，求抛物线的解析式；
（2）若m为小于O的常数，那么（1）中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？
（3）设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BOD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-m+2）（x-m-2）=a（x-m）²-4a，
∵AC⊥BC，由抛物线的对称性可知：△ACB为等腰直角三角形，又AB=4，
∴C（m，-2）代入得a=，
∴解析式为：y=（x-m）²-2；
（2）∵m为小于0的常数，
∴只需将抛物线向右平移-m个单位，再向上平移2个单位，
可以使抛物线y=（x-m）²-2顶点在坐标原点；
（3）由（1）得D（0，m²-2），设存在实数m，使得△BOD为等腰三角形，
∵△BOD为直角三角形，
∴只能OD=OB，
∴m²-2=|m+2|，
当m+2>0时，解得m=4或m=-2（舍），
当m+2<0时，解得m=0（舍）或m=-2（舍）；
当m+2=0时，即m=-2时，B、O、D三点重合（不合题意，舍），
综上所述：存在实数m=4，使得△BOD为等腰三角形。