题目

题型：广西自治区中考真题难度：来源：

如图，将OA=6，AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒1个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP。

（1）点B的坐标为____；用含t的式子表示点P的坐标为____；
（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0<t<6）并求t为何值时，S有最大值？
（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）（6，4）；（）；
（2）∵S_△OMP=×OM×，
∴S=×（6-t）×=+2t=
∴当t=3时，S有最大值；
（3）存在；
由（2）得：当S有最大值时，
点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4），
则直线ON的函数关系式为：，
设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：，
解方程组，得，
∴直线ON与MT的交点R的坐标为，
∵S_△OCN=×4×3=6，
∴S_△ORT=S_△OCN=2，
①当点T在点O、C之间时，分割出的三角形是△OR₁T₁，
如图，作R₁D₁⊥y轴，D₁为垂足，
则，
∴，
∴（不合题意，舍去）
此时点T₁的坐标为（0，）；
②当点T在OC的延长线上时，分割出的三角形是△R₂NE，
如图，设MT交CN于点E，由①得点E的横坐标为，
作R₂D₂⊥CN交CN于点D₂，
则=EN·R₂D₂===2，
∴，
∴（不合题意，舍去），
∴此时点T₂的坐标为（0，），
综上所述，在y轴上存在点T₁（0，），T₂（0，）符合条件。