题目

题型：广东省中考真题难度：来源：

如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E。
（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；
（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA₁B₁C₁，试探究OA₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由。

答案

解：（1）由题意得B（3，1）
若直线经过点A（3，0）时，则b=
若直线经过点B（3，1）时，则b=
若直线经过点C（0，1）时，则b=1
①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤
如图1，此时E（2b，0）
∴。②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即
如图2，此时，D（2b-2，1）
∴S=S_矩-（S_△OCD+S_△OAE+S_△DBE ）
=
∴。（3）如图3，设O₁A₁与CB相交于点M，OA与C₁B₁相交于点N，则矩形OA₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。
由题意知，DM∥NE，DN∥ME，
∴四边形DNEM为平行四边形
根据轴对称知，∠MED=∠NED
又∠MDE=∠NED，
∴∠MED=∠MDE，
∴MD=ME，
∴平行四边形DNEM为菱形
过点D作DH⊥OA，垂足为H，
由题易知，tan∠DEN=，DH=1，
∴HE=2，
设菱形DNEM 的边长为a，
则在Rt△DHM中，由勾股定理知：，
∴
∴S_{四边形DNEM}=NE·DH=
∴矩形OA₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为。