题目

题型：广东省中考真题难度：来源：

如图，直角梯形OABC中，OC∥AB，C（0，3），B（4，1），以BC为直径的圆交x轴于E，D两点（D点在E点右方）。
（1）求点E，D 的坐标；
（2）求过B，C，D三点的抛物线的函数关系式；
（3）过B，C，D三点的抛物线上是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标。

答案

解：（1）在BC上取中点G，并过G作GH⊥x轴于H，连接GD
∵，
∴
∴H（2，0）
∵，GH=2-0=2
又DG=BG=
∴
∴D（3，0），E（1，0）。（2）设过B、C、D三点的抛物线表达式为
则
解得
∴。
（3）设Q，由（2）可得Q
过Q作QN⊥x轴于N
分2种情况：
①当∠BDQ=90°时，
∴∠NDQ+∠BDA=90°
∵∠DNQ=∠BAD=90°
∴∠NDQ+∠NQD=90°
∴∠NQD=∠BDA
∴△NDQ∽△ABD
∴
即
解得
当时，
当
（与点D重合，舍去）。
②当∠DBQ=90时，则当有
∵B（4，1），D（3，0），Q
∴
 
 
+2=
整理得：，解得：，
∴当，由y₃=1（此时，Q点与B点重合，舍去）
当x₄=-1时，y₄=6
∴，（与点B重合，舍去），
综上所述符合条件的点有2个，分别是，。