题目

题型：辽宁省中考真题难度：来源：

已知：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²-x+3（a≠0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为直线x=-2。
（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）若点P（0，t）是y轴上的一个动点，请进行如下探究：
探究一：如图1，设△PAD的面积为S，令W=t·S，当0＜t＜4时，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此时t的值；如果没有，说明理由；
探究二：如图2，是否存在以P、A、D为顶点的三角形与Rt△AOC相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由。（参考资料：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）对称轴是直线x=）

答案

解：（1）∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
∴；（2）探究一：当时，W有最大值，
∵抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，
∴，
∴，
当时，作轴于M，
则，
∵，
∴，
∵
，


∴
∴当时，W有最大值，，
探究二：存在，分三种情况：
①当时，作轴于E，
则，
∴
∴，
∴
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴
∴，，
此时，又因为，
∴，
∴，
∴，
∴当时，存在点P₁，使，此时P₁点的坐标为（0，2）；
②当时，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴与不相似，此时点P₂不存在；
③当时，以AD为直径作，则的半径，圆心O₁到y轴的距离，∵，
∴与y轴相离，不存在点P₃，使，
∴综上所述，只存在一点使与相似。