题目

题型：江苏省中考真题难度：来源：

如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG。
（1）设AE=x时，△EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并填写自变量x的取值范围；
（2）P是MG的中点，请直接写出点P运动路线的长。

答案

解：（1）当点E与点A重合时，x=0，y=×2×2=2；
当点E与点A不重合时，0＜x≤2
在正方形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，
∴∠MDF=90°，
∴∠A=∠MDF
∵AM=DM，∠AMF=∠DMF，
∴△AME≌△DMF，
∴ME=MF
在Rt△AME中，AE=x，AM=1，ME=
∴EF=2MF=2
过点M作MN⊥BC，垂足为N（如图）
则∠MNG=90°，∠AMN=90°，MN=AB=AD=2AM
∴∠AME+∠EMN=90°
∵∠EMG=90°，
∴∠GMN+∠EMN=90°，
∴∠AME=∠GMN，
∴Rt△AME∽Rt△NMG
∴，即
∴MG=2ME=2
∴y=EF·MG=×2×2=2x²+2，
∴y =2x²+2，其中0≤x≤2。（2）点P运动路线的长为2。