题目

题型：福建省中考真题难度：来源：

已知：如图，抛物线y=ax²+bx+2与x轴的交点是A（3，0）、B（6，0），与y轴的交点是C。
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设P（x，y）（0＜x＜6）是抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q。
①当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少？
②是否存在这样的点P，使△OAQ为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）∵抛物线过A（3，0），B（6，0）， 
∴
解得：，
∴所求抛物线的函数表达式是；
（2）①∵当x=0时，y=2，
∴点C的坐标为（0，2），
设直线BC的函数表达式是y=kx+b，
则有，
解得：，
∴直线BC的函数表达式是，
∵0＜x＜6，
∴


∴当x=3时，线段PQ的长度取得最大值，最大值是1；
②当∠OAQ=90°时，点P与点A重合，
∴P（3，0）
当∠QOA=90°时，点P与点C重合，
∴x=0（不合题意）
当∠OQA=90°时，
设PQ与x轴交于点D，
∵∠ODQ+∠ADQ=90°，∠QAD+∠AQD=90°，
∴∠OQD=∠QAD，
又∵∠ODQ=∠QDA=90°，
∴△ODQ∽△QDA，
∴，即
∴

∴
∴
∴
∴所求的点P的坐标是P（3，0）或或。