题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

如图，点P在y轴上，⊙P交x轴于A，B两点，连接AP并延长交⊙P于C点，过点C的直线y=-2x+b交x轴于点D，交y轴于点E，且⊙P的半径为，AB=4。

（1）求点P，点C的坐标；
（2）求证：CD是⊙P的切线；
（3）若二次函数y=-x²+mx+n的图象经过A，C两点，求这个二次函数的解析式，并写出使函数值大于一次函数y=-2x+b值的x的取值范围。

答案

解：（1）如图，连接CB，
∵OP⊥AB，
∴OB=OA=2，
∵OP²+AO²=AP²，
∴OP²=5-4=1，OP=1，
∵AC是⊙P的直径，
∴∠ABC=90°，
∵CP=PA，BO=OA，
∴BC=2PO=2，
∴P（0，1），C（2，2）；
（2）证明：∵y=-2x+b过C点，
∴b=6，
∴y=-2x+6，
∵当y=0时，x=3，
∴D（3，0），
∴BD=1，
∵OA=BC=2PO=BD=1，∠AOP=∠CBD，
∴△AOP≌△CBD，
∴∠PAO=∠DCB，
∵∠PAO+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠DCB=90°，
∴∠ACD=90°，
∴DC是⊙P的切线；
（3）∵y=-x²+mx+n过A（-2，0）和C（2，2），
∴，解得，
∴这个二次函数的解析式为，
可求二次函数与一次函数y=-2x+6的交点C（2，2）和D（3，0），
由此可知，满足条件的x的取值范围为2＜x＜3。