题目

题型：河北省期末题难度：来源：

如图，已知点A（3，0），以A为圆心作⊙A与y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B作⊙A的切线l．
（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C（0，9），求此抛物线的解析式；
（2）抛物线与x轴的另一个交点为D，过D作⊙A的切线DE，E为切点，求DE的长；
（3）点F是切线DE上的一个动点，当△BFD与△EAD相似时，求出BF的长．

答案

解：（1）由题意可知，抛物线的对称轴为：x=6，
∴设抛物线的解析式为y=a(x﹣6)²+k，
∵抛物线经过点A（3，0）和C（0，9），
∴，
解得：a=，k=﹣3，
∴ y=(x﹣6)²﹣3；
（2）连接AE，
∵DE是⊙A的切线，
∴∠AED=90°，AE=3．
∵直线l是抛物线的对称轴，
点A，D是抛物线与x轴的交点，
∴AB=BD=3，
∴AD=6．
在Rt△ADE中，DE²=AD²﹣AE²=6²﹣3²=27，
∴DE=；
（3）当BF⊥ED时，
∵∠AED=∠BFD=90°，∠ADE=∠BDF，
∴△AED∽△BFD，
∴，即，
∴BF=；
当FB⊥AD时，
∵∠AED=∠FBD=90°，∠ADE=∠FDB，
∴△AED∽△FBD，
∴，即BF=，
∴当△BFD与△EAD相似时，BF的长为或．