题目

题型：辽宁省中考真题难度：来源：

已知，如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（﹣2，0），点B坐标为（0，2 ），点E为线段AB上的动点(点E不与点A，B重合)，以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y=﹣x²+mx+n的图象经过A，C两点．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）求证：∠BEF=∠AOE；
（3）当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；
（4）在（3）的条件下，当直线EF交x轴于点D，P为（1）中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（2+1）倍．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）如答图①，
∵A （﹣2，0），B （0，2），
∴OA=OB=2，
∴AB²=OA²+OB²=2²+2²=8，
∴AB=2，
∵OC=AB，
∴OC=2，
即C（0，2），
又∵抛物线y=﹣x²+mx+n的图象经过A、C两点，
则可得：，
解得：m=﹣，n=2，
∴抛物线的表达式为y=﹣x²﹣x+2；
（2）∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE，
∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF，
∴∠BEF=∠AOE；
（3）当△EOF为等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当OE=OF时，∠OFE=∠OEF=45°，
在△EOF中，∠EOF=180°﹣∠OEF﹣∠OFE
=180°﹣45°﹣45°
=90°，
又∵∠AOB＝90°，
则此时点E与点A重合，不符合题意，此种情况不成立；②如答图②，当FE=FO时，∠EOF=∠OEF=45°，
在△EOF中，∠EFO=180°﹣∠OEF﹣∠EOF
=180°﹣45°﹣45°
=90°，
∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°，
∴EF∥AO，
∴ ∠BEF=∠BAO=45°，
又∵ 由（2）可知，∠ABO=45°，
∴∠BEF=∠ABO，
∴BF=EF，
∴EF=BF=OF=OB=×2＝1，
∴E（﹣1，1）；
③如答图③，当EO=EF时，过点E作EH⊥y轴于点H，
在△AOE和△BEF中，
∠EAO=∠FBE，EO=EF，∠AOE=∠BEF，
∴△AOE≌△BEF，
∴BE=AO=2，
∵EH⊥OB，
∴∠EHB=90°，
∴∠AOB=∠EHB，
∴EH∥AO，
∴∠BEH=∠BAO=45°．
在Rt△BEH中，
∵∠BEH=∠ABO=45°，
∴EH=BH=BEcos45°=2×=，
∴OH=OB﹣BH=2﹣2，
∴ E（﹣，2﹣）．
综上所述，当△EOF为等腰三角形时，所求E点坐标为
E（﹣1，1）或E（﹣，2﹣2）；
（4）P（0，2）或P（﹣1，2）．
答图①





答图②





答图③