题目

题型：广西自治区中考真题难度：来源：

已知抛物线y=ax²+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；
（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）∵抛物线y=ax²+2x+c的图象经过点A（3，0）和点B（0，3），
∴，解得a=-1，c=3，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3． 
 （2）对称轴为x==1， 令y=-x²+2x+3=0，解得x₁=3，x₂=-1，
∴C（-1，0）．
如图1所示，连接AB，与对称轴x=1的交点即为所求之D点，由于A、C两点关于对称轴对称，则此时DB+DC=DB+DA=AB最小．
设直线AB的解析式为y=kx+b，由A（3，0）、B（0，3）
可得： ，解得k=-1，b=3，
∴直线AB解析式为y=-x+3． 当x=1时，y=2，
∴D点坐标为（1，2）．  
（3）结论：存在．
如图2所示，设P（x，y）是第一象限的抛物线上一点， 过点P作PN⊥x轴于点N，
则ON=x，PN=y，AN=OA-ON=3-x．
S_△ABP=S_梯形PNOB+S_△PNA-S_△AOB
=（OB+PN）ON+PN×AN-OA×OB
=（3+y）x+y（3-x）-×3×3
=（x+y）-，
∵P（x，y）在抛物线上，
∴y=-x²+2x+3，
代入上式得： S_△ABP=（x+y）-=-（x²-3x）=-（x-）²+，
 ∴当x=时，S_△ABP取得最大值．
当x=时，y=-x²+2x+3=，
∴P（，）．
所以，在第一象限的抛物线上，存在一点P，使得△ABP的面积最大；
P点的坐标为（，）．