题目

题型：期中题难度：来源：

如图1，矩形OABC的顶点O为原点，点E在AB上，把△CBE沿CE折叠，使点B落在OA边上的点D处，点A、D坐标分别为（10，0）和6，0），抛物线过点C、B．   
（1）求C、B两点的坐标及该抛物线的解析式；  
（2）如图2，长、宽 一定的矩形PQRS的宽PQ =1，点P沿（1）中的抛物线滑动，在滑动过程中PQ∥x轴，且"RS在PQ的下方，当P点横坐标为-1时。点s距离x轴 个单位，当矩形PQRS在滑动过程中被x轴分成上下两部分的面积比为2:3时，求点P的坐标；  
（3）如图3，动点M、N同时从点O出发，点M以每秒3个单位长度的速度沿折线 ODC按的路线运动，点N以每秒8个单位长度的速度沿折线OCD按的路线运动，当M、N两点相遇时，它们都停止运动．设M、N同时从点O出发t秒时，△OMN的面积S．①求出S与t的函数关系式，并写出t的取值范围：②设S₀是①中函数S的最大值，那么S₀= ________         
                                                  图2                                图3

答案

解：（1） ∵A（10,0）,D（6,O）  OA =10  OD =6     
又∵矩形OCBA     
∴∠COA= ∠BAO =90°     OC=AB     BC= OA =10     
又∵△CED为△CBE沿CE翻折得到的，     
∴CD= CB =10     
∴在Rt△COD中，由勾股定理得:  =8     
∴C（0，8），B（0，8）     
又∵C、B均在y=  x²+bx+c上
∴         
∴y= x² -2x +8     
（2）当x=-1时，
  ∴此时P（-1， ）   
又∵S距离x轴上方 个单位．   
∴PS =8   
∴，矩形PQRS的长为8，宽为1．   
设PQRS在下滑过程中交x轴分别于G、H两点．     
则由题意知： 
∴ 
∴
故P的纵坐标为 
∴设P（a， ），则 a² -2a +8= 
∴a₁=4，a₂ =6
∴P（4， ）
（3）①当0≤t≤1时，此时N在OC上.M在OD上
．      
此时，当t=1时，S_大 =12  
 ②当1<t≤2时，此时N在CD上，肘在OD上，
  则DN =18 -8t
  过N点NH⊥ OD与H== sin∠CDO==
∴NH=,DN= （18 -8t）= （9-4t）
  ∴ S_△OMN =·NH·OM =×= （9 -4t）．
3t=-t²+=t=（t-）²+
  ∴ 当t=时，S_大= =12. 15
  ③当2<t≤ 时，此时，N、M均在CD上则MN =24 -11t
    过D作OH⊥CD于点H 则由等面积得：OH=

    ∴S_△QMN=OH·MN =××（24 -11t）=-t+此时当t=2时，S_大=