题目

题型：广东省中考真题难度：来源：

如图，抛物线y=x²﹣x﹣9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC。
（1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D，设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）。

答案

解：（1 ）已知：抛物线y=x²﹣x﹣9；
当x=0时，y=﹣9，则：C（0，﹣9）；
当y=0时，x²﹣x﹣9=0，得：x₁=﹣3，x₂=6，则：A（﹣3，0）、B（6，0）；
∴AB=9，OC=9；
（2）∵ED∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴=（）2，
即：=（）2，得：s=m2（0＜m＜9）；
（3）解法一：∵S_△ABC=AE·OC=m×9=m，
∴S_△CDE=S_△ABC﹣S_△ADE=m﹣m²=﹣（m﹣）²+，
∵0＜m＜9，
∴当m=时，S_△CDE取得最大值，最大值为，
此时，BE=AB﹣AE=9﹣=，
记⊙E与BC相切于点M，连接EM，则EM⊥BC设⊙E的半径为r，
在Rt△BOC中，BC===，
∵∠BOC=∠EBM，∠COB=∠EMB=90°，
∴△BOC∽△BME，
∴=，
∴=，
∴r=，
∴所求⊙E的面积为：π（）2=π。
解法二：∵S_△ABC=AE·OC=m×9=m，
∴S_△CDE=S_△AEC﹣S_△ADE=m﹣m²=﹣（m﹣）²+，
∵0＜m＜9，
∴当m=时，S_△CDE，最大值为，
此时，BE=AB﹣AE=9﹣=，
∴S_△EBC=S_△ABC=，
如图2，记⊙E与BC相切于点M，连接EM，则EM⊥BC，
设⊙E的半径为r，
在Rt△BOC中，BC═=，
∵S_△EBC=BC·EM，
∴×r=，
∴r=，
∴所求⊙E的面积为：π（）²=π。