题目

题型：海南省中考真题难度：来源：

如图，顶点为P （4 ，-4 ）的二次函数图象经过原点（0 ，0 ），点A 在该图象上，OA 交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON。
（1）求该二次函数的关系式；
（2）若点A的坐标是（6，-3），求△ANO的面积；
（3）当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：
①证明：∠ANM=∠ONM；
②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标，如果不能，请说明理由。

答案

解：（1 ）∵二次函数图象的顶点为P （4 ，-4 ），
∴设二次函数的关系式为，                  
又∵二次函数图象经过原点（0，0），
∴，解得，                  
∴二次函数的关系式为，即，            
（2）设直线OA的解析式为y=kx，将A（6，-3）代入得-3=6k，解得，                
∴直线OA的解析式为，
  把x=4代入得y=-2，
∴M（4，-2），
又∵点M 、N 关于点P 对称，
∴N （4 ，-6 ），MN=4 ，
∴；
（3）①证明：过点A作AH⊥l于点H，，l与x轴交于点D。则，设A（），
则直线OA 的解析式为，
则M（），N（），H（）。
∴OD=4，ND=x₀，HA=，NH=。
∴，
∴，
∴∠ANM=∠ONM；
②不能。理由如下：分三种情况讨论：
情况1，若∠ONA是直角，由①，得∠ANM=∠ONM=450，
∴△AHN是等腰直角三角形。∴HA=NH，即。
整理，得，解得，
∴此时，点A与点P重合。故此时不存在点A，使∠ONA是直角。
情况2，若∠AON是直角，则，
∵ ，
∴，
整理，得，解得。
∴此时，故点A与原点或与点P重合。故此时不存在点A，使∠AON是直角。
情况3，若∠NAO是直角，则△AMN∽△DMO∽△DON，
∴，
∵OD=4，MD=，ND=，
∴，
整理，得，
解得，
∴此时，点A与点P重合。故此时不存在点A，使∠ONA是直角，
综上所述，当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，△ANO不能成为直角三角形。