题目

题型：不详难度：来源：

如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，3），直线x=-3交x轴于点B，P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交于直线x=-3于点C．过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于M，交直线x=-3于点N．
（1）当点C在第二象限时，求证：△OPM≌△PCN；
（2）设AP长为m，以P、O、B、C为顶点的四边形的面积为S，请求出S与M之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=-3上移动，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由．

答案

（1）证明：∵直线x=-3交x轴于点B，
∴B（-3，0），
∴OB=3，
∵A点的坐标为（0，3），
∴OA=3，
∴OA=OB，且∠AOB=90°，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
∴∠ABN=45°
∵MN∥x轴，
∴∠NPB=∠ABO=45°，
∴∠NPB=∠NBP，
∴PN=BN，
∵MN∥x轴，BN∥y轴，
∴四边形NBOM是平行四边形，
∴BN=MO，
∴PN=MO，
∵PC⊥PO，
∴∠CPO=90°，
∴∠NPC+∠OPM=90°，
∵∠OPM+∠POM=90°
∴∠NPC=∠POM，
∴△OPM≌△PCN．
（2）如图1，∵AP=m，由勾股定理得：PM=AM=

2

2

m，
∴PN=3-

2

2

m，作PH⊥x轴于点H，
∴PN=PH，∠NPC=∠HPO，∠PNC=∠PHO，
∴△PNC≌△PHO，
∴S_△PNC=S_△PHO，
∴S_{四边形POBC}=S_矩形PNBH，
∴S=（3-

2

2

m）²，
如图2，同理可以求得：
△PNC≌△PHO，
∴CN=HO，NP=HP=3-

2

2

m，
∴BC=

2

m-3
∴S_△PNC=S_△PHO，
∴S_{四边形POBC}=

3(3- 2 2 m)

2

+

3( 2 m-3)

2

，
=

9

4

2

m．
S=

9

4

2

m（

3

2

2

＜m≤3

2

）；
S=

1

2

m²-3

2

m+9（0≤m≤

3

2

2

）；
（3）△PBC可能为等腰三角形．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
①当P与A重合时，PC=BC=3，此时P（0，3）；
②当点C在第二象限，且PC=CB时，
设AM=a，则PM=a，PN=3-a，BN=MO=3-a，由（1）知NC=PM=a，
∴BC=3-2a，
∴BC²=9-12a+4a²．
∵PC²=a²+（3-a）²=2a²-6a+9，
∴9-12a+4a²=2a²-6a+9，
解得：a₁=0（舍去），a₂=3
∴A点与P点重合．
③当点C在第三象限（如图），PB=BC时，设AP=n，由条件根据勾股定理可以知道AB=3

2

，AM=PM=

2 n

2

，MO=3-

2 n

2

，
∴BN=3-

2 n

2

，
∵由（1）得，PM=CN，
∴CN=

2 n

2

，
∴PB=3

2

-n，BC=

2 n

2

-(3-

2 n

2

)=

2

n-3，
∴

2

n-3=3

2

-n，
∴n=3
∴PM=

3 2

2

，MO=3-

3 2

2

，
∴（-

3 2

2

，3-

3 2

2

）
综上所述：
∴P₁（0，3），P₂（-

3 2

2

，3-

3 2

2

）．