题目

题型：不详难度：来源：

我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，-3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2．
（1）请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式．
（3）如果直线x=m在线段OB上移动，交x轴于点D，交抛物线于点E，交BD于点F．连接DE和BE后，对于问题“是否存在这样的点E，使△BDE的面积最大？”小明同学认为：“当E为抛物线的顶点时，△BDE的面积最大．”他的观点是否正确？提出你的见解，若△BDE的面积存在最大值，请求出m的值以及点E的坐标．

答案

（1）设该抛物线的解析式为y=ax²+bx+c．
根据题意知A、B、D点的坐标分别是（-1，0）、（3，0）、（0，-3），
则可列方程组

0=a-b+c 0=9a+3b+c -3=c

，
解得c=-3、a=1、b=-2，
∴“蛋圆”抛物线部分的解析式为y=x²-2x-3（-1≤x≤3）；

（2）设过点D（0，-3）的“蛋圆”切线的解析式为y=kx-3，
将其代入抛物线部分的解析式为y=x²-2x-3得
kx-3=x²-2x-3，即x²-（2+k）x=0，
∵△=（2+k）²=0，
∴k=-2，
∴过点D（0，-3）的“蛋圆”切线的解析式为y=-2x-3；

（3）由上面知B、D点的坐标分别是（3，0）、（0，-3），
则直线BD的解析式为y=x-3，
∵点F为直线x=m与直线BD的交点，点E为直线x=m与抛物线y=x²-2x-3的交点，
∴点F的坐标为（m，m-3），点E的坐标为（m，m²-2m-3），
∴S_△BDE=S_△BDF+S_△DEF=

1

2

×EF×OD+

1

2

×EF×DB，
=

1

2

×EF×OB，
=

1

2

[m-3-(m2-2m-3)]×3，
=

3

2

(3m-m2)，
=-

3

2

(m-

3

2

)2+

27

8

，
又∵0≤m≤3，
∴当m=

3

2

，S_△BDE取最大值

27

8

，点E的坐标为（

3

2

，-

9

4

），
∵抛物线的顶点为（1，-4），
∴小明同学认为：“当E为抛物线的顶点时，△BDE的面积最大．”这样的观点是错误的．
答：（1）“蛋圆”抛物线部分的解析式为y=x²-2x-3（-1≤x≤3）．
（2）过点D（0，-3）的“蛋圆”切线的解析式为y=-2x-3．
（3）存在这样的点E的坐标为（

3

2

，-

15

4

），使△BDE的面积最大为

27

8

；小明同学认为：“当E为抛物线的顶点时，△BDE的面积最大．”这样的观点是错误的．