如图，已知二次函数y=x2-3x-4的图象交x轴于A、B两点．（1）若点P在线段AB上运动，作PQ⊥x轴，交抛物线于点Q，求PQ的最大值；（2）已知点D（5，6 - 初中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

如图，已知二次函数y=x²-3x-4的图象交x轴于A、B两点．
（1）若点P在线段AB上运动，作PQ⊥x轴，交抛物线于点Q，求PQ的最大值；
（2）已知点D（5，6）在抛物线上，若点M在线段AD上运动，作MN⊥x轴，交抛物线于点N，求MN的最大值；
（3）在（2）的运动过程中，求△ADN面积的最大值．

答案

（1）当Q为抛物线的顶点时，PQ取得最大值．
∵y=x²-3x-4=（x-

）²-

，
∴点Q坐标为（

，-

），
∴PQ的最大值为

；

（2）∵D（5，6），A（-1，0），
设直线AD的解析式为：y=kx+b，则

5k+b=6

-k+b=0

，
解得

k=1

b=1

．
∴直线AD的解析式为：y=x+1；
设M（x，x+1），则N（x，x²-3x-4），
∴MN=x+1-（x²-3x-4）=-x²+4x+5=-（x-2）²+9，
∴当x=2时，MN的最大值为9；

（3）S_△ADN=S_△ANM+S_△MDN=

MN•（5+1）=3MN，
∴由（2）的结论可得，当x=2时，△ADN面积的最大值为27．

核心考点

试题【如图，已知二次函数y=x2-3x-4的图象交x轴于A、B两点．（1）若点P在线段AB上运动，作PQ⊥x轴，交抛物线于点Q，求PQ的最大值；（2）已知点D（5，6】；主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

如图①，抛物线经过点A（12，0）、B（-4，0）、C（0，-12）．顶点为M，过点A的直线y=kx-4交y轴于点N．
（1）求该抛物线的函数关系式和对称轴；
（2）试判断△AMN的形状，并说明理由；
（3）将AN所在的直线l向上平移．平移后的直线l与x轴和y轴分别交于点D、E（如图②）．当直线l平移时（包括l与直线AN重合），在抛物线对称轴上是否存在点P，使得△PDE是以DE为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x-m）²+n的顶点在线段AB上运动（抛物线随顶点一起平移），与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为-3，则点D的横坐标最大值为（　　）

A．-3

B．1

C．5

D．8

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如图，抛物线y₁=a（x+2）²-3与y₂=

（x-3）²+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：
①无论x取何值，y₂的值总是正数；
②a=1；
③当x=0时，y₂-y₁=4
④2AB=3AC．
其中正确结论是______．

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已知：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），顶点C（1，-3），与x轴交于A，B两点，A（-1，0）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A，D，B，E，点P为线段AB上一个动点（P与A，B两点不重合），过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断

是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP，FG分别与边AE，BE相交于点F，G（F与A，E不重合，G与E，B不重合），请判断

是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

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如图，已知抛物线y=mx²+nx+p与y=x²+6x+5关于y轴对称，与y轴交于点M，与x轴交于点A和B．
（1）y=mx²+nx+p的解析式为______，试猜想出与一般形式抛物线y=ax²+bx+c关于y轴对称的二次函数解析式为______．
（2）A，B的中点是点C，则sin∠CMB=______．
（3）如果过点M的一条直线与y=mx²+nx+p图象相交于另一

点N（a，b），a，b满足a²-a+m=0，b²-b+m=0，则点N的坐标为______．

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