题目

题型：不详难度：来源：

在直角坐标系中，抛物线y=-

1

2

x²+mx-n与x轴交于A、B两点．与y轴交于C点．已知A、B两点都在x轴负半轴上（A左B右），△AOC与△COB相似，且tan∠CBO=4tan∠BCO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴与直线y=nx交于D．以D为圆心，作与x轴相切的圆，交y轴于M、N两点．求劣弧MN所对的弓形面积；
（3）在y轴上是否存在一点F，使得FD+FA的值最小，若存在，求出△ABF的面积，若不存在，说明理由．

答案

（1）当x=0时，y=-n，
∴C（0，-n）．
∵tan∠CBO=

OC

OB

，tan∠BCO=

OB

OC

，
∴

OC

OB

=4

OB

OC

∴OC=2OB
∴B（-

n

2

，0）
∵△AOC∽△COB
∴OC²=OA•OB
∴A（-2n，0）
把A，B两点的坐标代入抛物线得：

- 1 2 • n2 4 -m• 1 2 n-n=0 - 1 2 •4n2-2mn-n=0

解方程组得：

m=- 5 2 n=2

所以抛物线的解析式为：y=-

1

2

x²-

5

2

x-2；

（2）抛物线的对称轴为：x=-

5

2

，
y=2x，
∴D（-

5

2

，-5），
如图：连接DM，DN，过点D作DH⊥MN于H，
则：DM=5，DH=

5

2

，
∴∠MDH=60°，
∴∠MDN=120°
S_弓形=S_扇形MDN-S_△MDN
=

1

3

π•25-

1

2

•

5

2

•5

3

=

25π

3

-

24 3

4

；

（3）点D关于y轴的对称点E（

5

2

，-5）
点A（-4，0），
AE的解析式为：y=-

10

13

x-

40

13

∴F（0，-

40

13

）
S_△ABF=

1

2

AB•OF=

1

2

•3•

40

13

=

60

13

．