题目
题型:不详难度:来源:
(1)证明:①S△CMD∶S梯形ABMC=2∶3
②xC·xD=-yH
(2)若将上述A点坐标(1,0)改为A点坐标(t,0),t>0,其他条件不变,结论S△CMD:S梯形ABMC=2∶3是否仍成立?请说明理由。
(3)若A的坐标(t,0)(t>0),又将条件y=x2改为y=ax2(a>0),其他条件不变,那么XC、XD和yH又有怎样的数量关系?写出关系式,并证明。
答案
(1)略
(2)成立
(3)xC·xD=-yH.
解析
解:(1)由已知可得点B的坐标为(2,0)点C的坐标为(1,1),点D的坐标为(2,4),且直线OC的函数解析式为y=x。
∴点M的坐标为(2,2),易得S△CMD=1,S梯形ABMC= ………………(1.5')
∴S△CMD∶S梯形ABMC=2∶3,即结论①成立。
设直线CD的函数解析式为y=kx+b,则
即
∴直线CD的解析式为y=3x-2。
由上述可得点H的坐标为(0,-2),即yH=-2 ……………(2.5')
∴xC·xD=-yH. 即结论②成立 ………………………………(3')
(2)结论S△CMD:S梯形ABMC=2:3仍成立. ………………………………………(4')
理由如下:∵点A的坐标为(t,0),(t>0).
则点B的坐标为(2t,0)
从而点C的坐标为(t,t2),点D的坐标为(2t,4t2).
设直线OC的解析式为y=kx,则t2=kt 得k=t
∴直线OC的解析式为y=tx ………………………………(5')
又设M的坐标为(2t,y)
∵点M在直线OC上
∴当x=2t时,y=2t2
∴点M的坐标为(2t,2t2) ………………………………(6')
∴S△CMD:S梯形ABMC=·2t2·t∶(t2+2t2)·t
=t3∶(t3)
= …………………………………(7')
(3)xC,xD和yH有关数量关系xC·xD=-yH.………………………………(8')
由题意,当二次函数的解析式为y=ax2(a>0),且点A的坐标为(t,0)时,点C的坐标为(t,at2),点D的坐标为(2t,4at2) ………………(9')
设直线CD的解析式为y=kx+b
则 得
∴CD的解析式为y=3atx-2at2 ……………………………………(11')
则H的坐标为(0,-2at2)即yH=-2at2…………………………(11.5')
∵xC·xD=t·2t=2t2 ……………………………………………(12')
∴xC·xD=-yH.
核心考点
试题【如图,在直角坐标平面内,O为坐标原点,A点的坐标为(1,0),B点在x轴上且在点A的右侧,AB=OA,过点A和B作x轴的垂线分别交二次函数y=x2的图象于点C和】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,在平面直角坐标系中,顶点为(,)的抛物线交轴于点,交轴于,两点(点在点的左侧). 已知点坐标为(,).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)过点作线段的垂线交抛物线于点, 如果以点为圆心的圆与直线相切,请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系,并给出证明;
(3)已知点是抛物线上的一个动点,且位于,两点之间,问:当点
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点,过点M作MN平行于y轴交CD于点N.设点M的横坐标为t,MN的长度为l.求l与t之间的函数关系式,并求l取最大值时,点M的坐标.
(1)探究新知:
①如图,已知AD∥BC,AD=BC,点M,N是直线CD上任意两点.
求证:△ABM与△ABN的面积相等.
②如图,已知AD∥BE,AD=BE,AB∥CD∥EF,点M是直线CD上任一点,点G是直线EF上任一点.试判断△ABM与△ABG的面积是否相等,并说明理由.
(2)结论应用:
如图③,抛物线的顶点为C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点D.试探究在抛物线上是否存在除点C以外的点E,使得△ADE与△ACD的面积相等? 若存在,请求出此时点E的坐标,若不存在,请说明理由.
﹙友情提示:解答本问题过程中,可以直接使用“探究新知”中的结论.﹚
(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标;
(2)在直线EF上求一点H,使△CDH的周长最小,并求出最小周长;
(3)若点K在x轴上方的抛物线上运动,当K运动到什么位置时,
△EFK的面积最大?并求出最大面积.
(1)求此函数的解析式及图象的对称轴;
(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动,点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动,其中一个动点到达端点时,另一个也随之停止运动.设运动时间为t秒.
①当t为何值时,四边形ABPQ为等腰梯形;
②设PQ与对称轴的交点为M,过M点作x轴的平行线交AB于点N,设四边形ANPQ的面积为S,求面积S关于时间t的函数解析式,并指出t的取值范围;当t为何值时,S有最大值或最小值.
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