题目

题型：不详难度：来源：

（1）探究新知：
①如图，已知AD∥BC，AD＝BC，点M，N是直线CD上任意两点．

求证：△ABM与△ABN的面积相等． 
②如图，已知AD∥BE，AD＝BE，AB∥CD∥EF，点M是直线CD上任一点，点G是直线EF上任一点．试判断△ABM与△ABG的面积是否相等，并说明理由．  

（2）结论应用：   
如图③，抛物线的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点D．试探究在抛物线上是否存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等？ 若存在，请求出此时点E的坐标，若不存在，请说明理由．
﹙友情提示：解答本问题过程中，可以直接使用“探究新知”中的结论．﹚    

答案

（1）①略
②相等．理由略
（2）存在，E点的坐标为E1（2，3）；；

解析

（本小题满分12分）
﹙1﹚①证明：分别过点M，N作 ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为点E，F．

∵ AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．  
∴ AB∥CD．  
∴ ME= NF．   
∵S△ABM＝，S△ABN＝，
∴ S△ABM＝ S△ABN．  ……………………………………………………………………1分
②相等．理由如下：分别过点D，E作DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分别为H，K．

则∠DHA=∠EKB=90°．
∵ AD∥BE，
∴∠DAH=∠EBK． 
∵ AD＝BE， 
∴△DAH≌△EBK． 
∴ DH=EK． ……………………………2分
∵ CD∥AB∥EF，   
∴S△ABM＝，S△ABG＝， 
∴  S△ABM＝ S△ABG. …………………………………………………………………3分
﹙2﹚答：存在． …………………………………………………………………………4分
解：因为抛物线的顶点坐标是C(1，4)，所以，可设抛物线的表达式为.
又因为抛物线经过点A(3，0)，将其坐标代入上式，得，解得.
∴该抛物线的表达式为，即． ………………………5分
∴D点坐标为（0，3）．
设直线AD的表达式为，代入点A的坐标，得，解得.
∴直线AD的表达式为．  
过C点作CG⊥x轴，垂足为G，交AD于点H．则H点的纵坐标为．
∴ CH＝CG－HG＝4－2＝2． …………………………………………………………6分
设点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为．   
过E点作EF⊥x轴，垂足为F，交AD于点P，则点P的纵坐标为，EF∥CG．
由﹙1﹚可知：若EP＝CH，则△ADE与△ADC的面积相等．
①若E点在直线AD的上方﹙如图③-1﹚，则PF=，EF＝．

∴EP＝EF－PF＝=． 
∴． 
解得，．……………………………7分 
当时，PF=3－2＝1，EF=1+2＝3． 
∴E点坐标为（2，3）．  
同理当m=1时，E点坐标为（1，4），与C点重合． ………………………………8分
②若E点在直线AD的下方﹙如图③－2,③－3﹚，
则． ……………………………………………9分

∴．解得，．  ………………………………10分
当时，E点的纵坐标为；   
当时，E点的纵坐标为．  
∴在抛物线上存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等，E点的坐标为E1（2，3）；；． ………………12分
﹙其他解法可酌情处理﹚