题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，在梯形ABCD中，已知AB∥DC， AD⊥DB，AD=DC=CB，
AB=4．以AB所在直线为轴，过D且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系．

小题1:（1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标；
小题2:（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其
对称轴L．
小题3:（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使
PDB为等腰三角形的点P有几个?
（不必求点P的坐标，只需说出个数即可）

答案

小题1:（1） ∵DC∥AB，AD=DC=CB，
∴ ∠CDB=∠CBD=∠DBA，
∠DAB=∠CBA，
∴∠DAB=2∠DBA，
∵∠DAB+∠DBA=90，
∴∠DAB=60 …………3分
∵∠DBA=30， AB=4，
∴DC=AD=2，
Rt△AOD，OA=1，OD=，
∴A（-1，0），D（0，），C（2，）．
小题2:（2）由已知得，满足条件的抛物线必过点A（-1，0），B（3，0），D（0， ）
故可设所求为 =x²+bx+c   ……………6分
将点的坐标代入上式得 , 解得，
所求抛物线的解析式为 =    ……………9分
其对称轴L为直线=1．
小题3:（3）使PDB为等腰三角形的点P有5个．…………12分
PDB为等腰三角形，有以下三种情况：
①因直线L与DB不平行，DB的垂直平分线与L仅有一个交点P₁，P₁D=P₁B，
P₁DB为等腰三角形；
②因为以D为圆心，DB为半径的圆与直线L有两个交点P₂、P₃，DB=DP₂，DB=DP₃， P₂DB， P₃DB为等腰三角形；
③与②同理，L上也有两个点P₄、P₅，使得 BD=BP₄，BD=BP₅．
由于以上各点互不重合，所以在直线L上，使PDB为等腰三角形的点P有5个

解析

略