题目

题型：不详难度：来源：

在长株潭建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到30元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：.
（年获利=年销售收入﹣生产成本﹣投资成本）
（1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？
（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？
（3）第二年，该公司决定给希望工程捐款Z万元，该项捐款由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款．若除去第一年的最大获利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围．

答案

解析

解：（1）∵25≤28≤30，，
∴把28代入y=40﹣x得， y=12（万件）。
答：当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为12万件。
（2）①当 25≤x≤30时，
W=（40﹣x）（x﹣20）﹣25﹣100=﹣x²+60x﹣925=﹣（x﹣30）²﹣25，
∴当x=30时，W最大为﹣25，即公司最少亏损25万。
②当30＜x≤35时，
W=（25﹣0.5x）（x﹣20）﹣25﹣100=﹣x²+35x﹣625=﹣（x﹣35）²﹣12.5，
∴当x=35时，W最大为﹣12.5，即公司最少亏损12.5万。
综合①，②得，投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万。
答：投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万。
（3）①当 25≤x≤30时，W=（40﹣x）（x﹣20﹣1）﹣12.5﹣10=﹣x²+59x﹣782.5，
令W=67.5，则﹣x²+59x﹣782.5=67.5，化简得：x²﹣59x+850=0，
解得  x₁=25；x₂=34。
此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，25≤x≤30；
②当30＜x≤35时，W=（25﹣0.5x）（x﹣20﹣1）﹣12.5﹣10=﹣x²+35.5x﹣547.5，
令W=67.5，则﹣x²+35.5x﹣547.5=67.5，化简得：x²﹣71x+1230=0，
解得x₁=30；x₂=41。
此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，30＜x≤35，
综上所述，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，此时销售单价的范围是25≤x≤35。
（1）因为25≤28≤30，所以把28代入y=40－x即可求出该产品的年销售量为多少万件。
（2）由（1）中y于x的函数关系式和根据年获利=年销售收入－生产成本－投资成本，得到w和x的二次函数关系，再由x的取值范围不同分别讨论即可知道该公司是盈利还是亏损。
（3）由条件得到w和x在自变量x的不同取值范围的函数关系式，再分别令w=67.5，求出对应x的值，结合y于x的关系中的x取值范围即可确定此时销售单价的范围。