题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）
已知函数，(e为自然对数的底数)
（Ⅰ）当a=1时，求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）若函数f(x)在上无零点，求a的最小值；
（III）若对任意给定的，在上总存在两个不同的，使得成立，求a的取值范围.

答案

（Ⅰ）的单调减区间为单调增区间为
（Ⅱ）若函数在上无零点，则的最小值为；
（III）当时，对任意给定的在上总存在两个不同的，使成立．

解析

(I)当a=1时，解析式确定直接利用得到函数f(x)的增（减）区间.
（II）解本小题的关键是先确定在上恒成立不可能，故要使函数在上无零点，只要对任意的恒成立，即对恒成立．
再构造函数利用导数求l(x)的最大值即可.
（III）解本小题的突破口是当时，函数单调递增；当时，函数 单调递减.
所以，函数当时，不合题意；再确定时的情况.
解：（Ⅰ）当时，由
       
故的单调减区间为单调增区间为         ………………………………4分
（Ⅱ）因为在上恒成立不可能，故要使函数在上无零点，
只要对任意的恒成立，即对恒成立．          
令则再令
在上为减函数，于是
从而，，于是在上为增函数
故要使恒成立，只要
综上，若函数在上无零点，则的最小值为……………………8分
（III）当时，函数单调递增；
当时，函数 单调递减
所以，函数当时，不合题意；
当时，  
故必需满足  ①
此时，当 变化时的变化情况如下：

	—	0	+
	单调减	最小值	单调增

∴对任意给定的，在区间上总存在两个不同的
使得成立，当且仅当满足下列条件② ③ 令 
令，得
当时， 函数单调递增；当时，函数单调递减．
所以，对任意有即②对任意恒成立． 
由③式解得：    ④             
综合①④可知，当时，对任意给定的在上总存在两个不同的，使成立．………………………………14分