题目

题型：不详难度：来源：

在平面直角坐标系xOy中，点P是抛物线：y=x²上的动点（点在第一象限内）．连接 OP，过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q．连接PQ，交y轴于点M．作PA丄x轴于点A，QB丄x轴于点B．设点P的横坐标为m．

（1）如图1，当m=时，
①求线段OP的长和tan∠POM的值；
②在y轴上找一点C，使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标；
（2）如图2，连接AM、BM，分别与OP、OQ相交于点D、E．
①用含m的代数式表示点Q的坐标；
②求证：四边形ODME是矩形．

答案

（1）①OP=，②∴当 OQ="OC" 时，则C₁（0，），C₂（0，－）。当 OQ="CQ" 时，则 C₃（0，1）。（2）①（）②见解析

解析

解：（1）①把x=代入 y=x²，得 y=2，∴P（，2），∴OP=。
∵PA丄x轴，∴PA∥MO．∴。
②设 Q（n，n²），∵tan∠QOB=tan∠POM，∴．∴。
∴Q（）。∴OQ=。
∴当 OQ="OC" 时，则C₁（0，），C₂（0，－）。
当 OQ="CQ" 时，则 C₃（0，1）。
（2）①∵点P的横坐标为m，∴P（m，m²）。设 Q（n，n²），
∵△APO∽△BOQ，∴。∴，得。
∴Q（）。
②设直线PO的解析式为：y=kx+b，把P（m，m²）、Q（）代入，得：
，解得b=1。∴M（0，1）。
∵，∠QBO=∠MOA=90°，∴△QBO∽△MOA。
∴∠MAO=∠QOB，∴QO∥MA。
同理可证：EM∥OD。
又∵∠EOD=90°，∴四边形ODME是矩形
（1）①已知m的值，代入抛物线的解析式中可求出点P的坐标；由此确定PA、OA的长，通过解直角三角形易得出结论。
②题目要求△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，所以分QO=OC、QC=QO两种情况来判断：
QO=QC时，Q在线段OC的垂直平分线上，Q、O的纵坐标已知，C点坐标即可确定；
QO=OC时，先求出OQ的长，那么C点坐标可确定。
（2）①由∠QOP=90°，易求得△QBO∽△MOA，通过相关的比例线段来表示出点Q的坐标。
②在四边形ODME中，已知了一个直角，只需判定该四边形是平行四边形即可，那么可通过证明两组对边平行来得证。