题目

题型：不详难度：来源：

如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线经过A，B两点。

（1）求A点坐标及线段AB的长；
（2）若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒。
①当PQ⊥AC时，求t的值；
②当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，求点H的纵坐标的取值范围。

答案

（1）A（0，﹣2），AB=4（2）①②或

解析

解：（1）由抛物线知：当x=0时，y=﹣2，∴A（0，﹣2）。
∵四边形OABC是矩形，∴AB∥x轴，即A、B的纵坐标相同。
当y=﹣2时，，解得。∴B（4，﹣2）。
∴AB=4。
（2）①由题意知：A点移动路程为AP=t，Q点移动路程为7（t－1）="7" t －7。
当Q点在OA上时，即，时，
如图1，若PQ⊥AC，
则有Rt△QAP∽Rt△ABC。
∴，即，解得。
∵，∴此时t值不合题意。
当Q点在OC上时，即，时，
如图2，过Q点作QD⊥AB。
∴AD=OQ=7（t﹣1）﹣2=7t﹣9。
∴DP=t﹣（7t﹣9）=9﹣6t。
若PQ⊥AC，则有Rt△QDP∽Rt△ABC，
∴，即，解得。
∵，∴符合题意。
当Q点在BC上时，即，时，
如图3，若PQ⊥AC，过Q点作QG∥AC，
则QG⊥PG，即∠GQP=90°。
∴∠QPB＞90°，这与△QPB的内角和为180°矛盾，
此时PQ不与AC垂直。
综上所述，当时，有PQ⊥AC。
②当PQ∥AC时，如图4，
△BPQ∽△BAC，∴，
∴，解得t=2。
即当t=2时，PQ∥AC。此时AP=2，BQ=CQ=1。
∴P（2，﹣2），Q（4，﹣1）。
抛物线对称轴的解析式为x=2，
当H₁为对称轴与OP的交点时，有∠H₁OQ=∠POQ，
∴当y_H＜﹣2时，∠HOQ＞∠POQ。
作P点关于OQ的对称点P′，连接PP′交OQ于点M，过P′作P′N垂直于对称轴，垂足为N，连接OP′，
在Rt△OCQ中，∵OC=4，CQ=1。∴OQ=，
∵S_△OPQ=S_{四边形ABCD}﹣S_△AOP﹣S_△COQ﹣S_△QBP=3=OQ×PM，
∴PM=。∴PP′=2PM=。
∵NPP′=∠COQ。∴Rt△COQ∽△Rt△NPP′。
∴，即，解得 ，。
∴P′（）。∴直线OP′的解析式为。
∴OP′与NP的交点H₂（2，）。
∴当时，∠HOP＞∠POQ。
综上所述，当或时，∠HOQ＞∠POQ。
（1）已知抛物线的解析式，将x=0代入即可得A点坐标；由于四边形OABC是矩形，那么A、B纵坐标相同，代入该纵坐标可求出B点坐标，则AB长可求。
（2）①Q点的位置可分：在OA上、在OC上、在CB上 三段来分析，若PQ⊥AC时，很显然前两种情况符合要求，首先确定这三段上t的取值范围，然后通过相似三角形（或构建相似三角形），利用比例线段来求出t的值，然后由t的取值范围将不合题意的值舍去。
②当PQ∥AC时，△BPQ∽△BAC，通过比例线段求出t的值以及P、Q点的坐标，可判定P点在抛物线的对称轴上，若P、H₁重合，此时有∠H₁OQ=∠POQ。若作P点关于OQ的对称点P′，OP′与NP的交点H₂，亦可得到∠H₂OQ=∠POQ，而题目要求的是∠HOQ＞∠POQ，那么H₁点以下、H₂点以上的H点都是符合要求的。