题目
题型:不详难度:来源:
(1)求直线y=kx的解析式和线段OA的长度;
(2)点P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线PM,交x轴于点M(点M、O不重合),交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N.试探究:线段QM与线段QN的长度之比是否为定值?如果是,求出这个定值;如果不是,说明理由;
(3)如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点,点E在线段OA上(与点O、A不重合),点D(m,0)是x轴正半轴上的动点,且满足∠BAE=∠BED=∠AOD.继续探究:m在什么范围时,符合条件的E点的个数分别是1个、2个?
答案
解析
∴y=2x。
∴。
(2)线段QM与线段QN的长度之比是一个定值,
理由如下:
如图1,过点Q作QG⊥y轴于点G,QH⊥x轴于点H.
①当QH与QM重合时,显然QG与QN重合,
此时。
②当QH与QM不重合时,
∵QN⊥QM,QG⊥QH不妨设点H,G分别在x、y轴的正半轴上,
∴∠MQH=∠GQN。
又∵∠QHM=∠QGN=90°,∴△QHM∽△QGN。∴。
当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时,同理可得。
∴线段QM与线段QN的长度之比是一个定值。
(3)如图2,延长AB交x轴于点F,过点F作FC⊥OA于点C,过点A作AR⊥x轴于点R。
∵∠AOD=∠BAE,∴AF=OF。
∴OC=AC=。
∵∠ARO=∠FCO=90°,∠AOR=∠FOC,
∴△AOR∽△FOC。∴。∴OF=。
∴点F(,0)。
设点B(x,),过点B作BK⊥AR于点K,则△AKB∽△ARF。
∴,即。
解得x1=6,x2=3(舍去)。∴点B(6,2)。
∴BK=6﹣3=3,AK=6﹣2=4。∴AB=5。
在△ABE与△OED中,∵∠BAE=∠BED,∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB。
∴∠ABE=∠DEO。
∵∠BAE=∠EOD,∴△ABE∽△OED。
设OE=x,则AE=﹣x (),
由△ABE∽△OED得,即。
∴。
∴顶点为。
如图3,
当时,OE=x=,此时E点有1个;
当时,任取一个m的值都对应着两个x值,此时E点有2个.
∴当时,E点只有1个,当时,E点有2个。
(1)利用待定系数法求出直线y=kx的解析式,根据A点坐标用勾股定理求出线段OA的长度。
(2)如图1,过点Q作QG⊥y轴于点G,QH⊥x轴于点H,构造相似三角形△QHM与△QGN,将线段QM与线段QN的长度之比转化为相似三角形的相似比,即为定值.需要注意讨论点的位置不同时,这个结论依然成立。
(3)由已知条件角的相等关系∠BAE=∠BED=∠AOD,可以得到△ABE∽△OED。在相似三角形△ABE与△OED中,运用线段比例关系之前需要首先求出AB的长度,如图2,可以通过构造相似三角形,或者利用一次函数(直线)的性质求得AB的长度。设OE=x,则由相似边的比例关系可以得到m关于x的表达式,这是一个二次函数.借助此二次函数图象(如图3),可见m在不同取值范围时,x的取值(即OE的长度,或E点的位置)有1个或2个。这样就将所求解的问题转化为分析二次函数的图象与性质问题。
核心考点
试题【如图1,已知直线y=kx与抛物线交于点A(3,6).(1)求直线y=kx的解析式和线段OA的长度;(2)点P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线PM,交x轴于】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.第一象限 | B.第二象限 | C.第三象限 | D.第四象限 |
(1)求点的坐标;
(2)若抛物线经过点,试确定此抛物线的表达式;
(3)设(2)中的抛物线的对称轴与直线交于点,点为对称轴上一动点,以为顶点的三角形与相似,求符合条件的点的坐标.
A. | B. | C.1 | D.2 |
(1)求点C的坐标;
(2)①命题“如图2,以y轴为对称轴的等腰梯形MNPQ与M1N1P1Q1的上底和下底都分别在同一条直线上,NP∥MQ,PQ∥P1Q1,且NP>MQ.设抛物线y=a0x2+h0过点P、Q,抛物线y=a1x2+h1过点P1、Q1,则h0>h1”是真命题.请你以Q(3,5)、P(4,3)和Q1(p,5)、P1(p+1,3)为例进行验证;
②当图1中的线段BC在第一象限时,作线段BC关于y轴对称的线段FE,连接BF、CE,点T是线段BF上的动点(如图3);设K是过T、B、C三点的抛物线y=ax2+bx+c的顶点,求K的纵坐标yK的取值范围.
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