题目

题型：不详难度：来源：

如图，经过原点的抛物线与轴的另一个交点为A.过点作直线轴于点M，交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）.连结CB,CP。

（1）当时，求点A的坐标及BC的长；
（2）当时，连结CA，问为何值时CA⊥CP？
（3）过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的的值，并写出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由。

答案

（1）A（6，0），BC=4（2）（3）存在，当m=2时，点E的坐标是（0，2）或（0，4），
当m=时，点E的坐标是（，0）

解析

解：（1）当m=3时，y=－x²＋6x。
令y=0得－x²＋6x=0，解得，x₁=0，x₂=6。∴A（6，0）。
当x=1时，y=5。∴B（1，5）。
∵抛物线y=－x²＋6x的对称轴为直线x=3，且B，C关于对称轴对称，∴BC=4。
（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）
由已知得，∠ACP=∠BCH=90°，∴∠ACH=∠PCB。
又∵∠AHC=∠PBC=90°，∴△AGH∽△PCB。
∴。
∵抛物线y=－x²＋2mx的对称轴为直线x=m，其中m＞1，且B，C关于对称轴对称，
∴BC=2（m－1）。
∵B（1，2m－1），P（1，m），∴BP=m－1。
又∵A（2m，0），C（2m－1，2m－1），∴H（2m－1，0）。
∴AH=1，CH=2m－1，
∴，解得m= 。
（3）存在。∵B，C不重合，∴m≠1。
（I）当m＞1时，BC=2（m－1），PM=m，BP=m－1，
（i）若点E在x轴上（如图1），
∵∠CPE=90°，∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，PC=EP。
∴△BPC≌△MEP，∴BC=PM，即2（m-1）=m，解得m=2。
此时点E的坐标是（2，0）。
（ii）若点E在y轴上（如图2），过点P作PN⊥y轴于点N，
易证△BPC≌△NPE，
∴BP=NP=OM=1，即m－1=1，解得，m=2。
此时点E的坐标是（0，4）。
（II）当0＜m＜1时，BC=2（1－m），PM=m，BP=1－m，
（i）若点E在x轴上（如图3），
易证△BPC≌△MEP，
∴BC=PM，即2（1－m）=m，解得，m=。
此时点E的坐标是（ ，0）。
（ii）若点E在y轴上（如图4），
过点P作PN⊥y轴于点N，易证△BPC≌△NPE，
∴BP=NP=OM=1，即1－m=1，∴m=0（舍去）。
综上所述，当m=2时，点E的坐标是（0，2）或（0，4），
当m=时，点E的坐标是（，0）。
（1）把m=3，代入抛物线的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即为和x轴交点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，从而求出BC的长。
（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）由已知得∠ACP=∠BCH=90°，利用已知条件证明
△AGH∽△PCB，根据相似的性质得到： ，再用含有m的代数式表示出BC，CH，BP，代入比例式即可求出m的值。
（3）存在。本题要分当m＞1时，BC=2（m-1），PM=m，BP=m－1和当0＜m＜1时，BC=2（1－m），PM=m，BP=1－m，两种情况分别讨论，再求出满足题意的m值和相对应的点E坐标。