题目

题型：不详难度：来源：

如图，在梯形纸片ABCD中，BC∥AD,∠A+∠D=90°,tanA=2，过点B作BH⊥AD与H,BC=BH=2.动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿运动到点停止，在运动过程中，过点作交折线于点，将纸片沿直线折叠，点、的对应点分别是点、。设点运动的时间是秒（）。
（1）当点和点重合时，求运动时间的值；
（2）在整个运动过程中，设或四边形与梯形重叠部分面积为，请直接写出与之间的函数关系式和相应自变量的取值范围；
（3）平移线段，交线段于点，交线段。在直线上存在点，使为等腰直角三角形。请求出线段的所有可能的长度。

答案

解：（1）t＋1， 

△PMN的边长MN＝CN－CM＝CD＋DN－CM＝1＋2t－t＝t＋1.
当点P落在AB上时，过P作PE⊥MN于E.则CE＝CM＋ME＝t＋＝
∴BE＝6－＝.∵等边△PMN，MN＝t＋1,
∴PE＝PN·sin60°＝MN·sin60°＝(t＋1).
在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝6.∴AC＝BC·tan30°＝.
∵∠PEB＝∠ACB＝90°，∠PBE＝∠ABC.∴△PBE∽△ABC，∴＝.
即＝，解得t＝
（2）当0＜t≤时，△PMN在△ABC内部.

∴S＝×(t＋1)×(t＋1)＝(t＋1)²
点N从点D运动到与点B重合所需时间为：＝（秒）
当＜t＜时，△PMN与△ABC重叠部分为四边形EFNM.

∵∠PNM＝60°，∠ABC＝30°,∴∠NFB＝∠ABC＝30°.∴NF＝NB＝6－(2t＋1)＝5－2t
∴PF＝(t＋1)－(5－2t)＝3t－4,∵∠NFB＝30°，∴∠PFE＝30°.
∵∠P＝60°，∴∠PEF＝90°,∴PE＝PF＝(3t－4)，EF＝PF＝(3t－4).
∴S_△PEF ＝EF·PE＝(3t－4)²
∴S＝S_△PMN －S_△PEF ＝(t＋1)²－(3t－4)²
＝－t²＋t－.
当≤t＜6时，△PMN与△ABC重叠部分为△GMB.在Rt△GMB中，∠GBM＝30°，MB＝6－t.
∴GM＝MB＝(6－t)，GB＝MB＝(6－t)
∴S＝GM·GB＝(6－t)²当t≥6时，S＝0.
（3）

解析

（1）综合运用梯形、直角三角形、轴对称的性质、三角形相似等知识，建立线段之间的等量关系；
（2）运用分类讨论的思想，找到重叠部分面积与之间的函数关系；
（3）分类讨论等腰三角形PGI的直角顶点.