题目
题型:不详难度:来源:
(1)求抛物线的解析式;
(2)D是线段AC的中点,E为线段AC上的一动点(不与A,C重合),过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F。问:是否存在△DEF与△AOC相似?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△APD为等腰三角形?若存在,请直接写出点p的坐标;若不存在,请说明理由。
答案
解析
试题分析:(1)已知,当x=2时,抛物线的最小值为-1,因此抛物线的顶点坐标为(2,-1);可用顶点式来设抛物线的解析式,然后将C的坐标代入即可求出抛物线的解析式.
(2)由于EF∥OC,那么∠FED=45°,因此要使三角形EFD与三角形COA相似,只有两种情况:当D为直角顶点时,∠EDF=90°,由于D是AC中点,而FD⊥AC,三角形AOC又是个等腰直角三角形,因此DF正好在∠COA的平分线上,即DF在直线y=x上,此时可先求出直线AC的函数关系式,然后联立抛物线的解析式求出F的坐标,由于E、F的横坐标相同,将F的横坐标代入AC所在的直线的解析式中即可求出E点的坐标.
(3)当F为直角顶点时,∠EFD=90°,那么DF与三角形AOC的中位线在同一直线上,即DF所在的直线的解析式为y=2,然后可根据(2)的方法求出p点的坐标.
(1)由题意可设抛物线的关系式为
y=a(x-2)2-1
因为点C(0,3)在抛物线上
所以3=a(0-2)2-1,即a=1
所以,抛物线的关系式为;
(2)令y=0,即x2-4x+3=0,
得点A(3,0),B(1,0),线段AC的中点为D(,)
直线AC的函数关系式为y=-x+3
因为△OAC是等腰直角三角形,
所以,要使△DEF与△AOC相似,△DEF也必须是等腰直角三角形.
由于EF∥OC,因此∠DEF=45°,
所以,在△DEF中只可能以点D、F为直角顶点.
当F为直角顶点时,DF⊥EF,此时△DEF∽△ACO,DF所在直线为y=
当D为直角顶点时,DF⊥AC,此时△DEF∽△OAC,由于点D为线段AC的中点,
因此,DF所在直线过原点O,其关系式为y=x.
当∠DFE=90°时,E1,当∠EDF=90°时,E2;
(3)
点评:解题的关键是要注意的是(3)中在不确定△EDF的直角顶点的情况下要分类进行讨论,不要漏解.
核心考点
试题【如图,当x=2时,抛物线取得最小值-1,并且与y轴交于点C(0,3),与x轴交于点A、B(A在B的右边)。(1)求抛物线的解析式;(2)D是线段AC的中点,E为】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. |
C. | D. |
下列结论中:①.abc>0 ②.a+b="0" ③.2b+c>0 ④.4a十c<2b正确的有 (只要求填写正确命题的序号)
(1)当t=3时,求点C的坐标;
(2)当t>0时,求m与t之间的函数关系式;
(3)是否存在t,使点M(-2,2)落在正方形ABCD的边上?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.
我们知道,一次函数y=kx+b的图象是一条直线,而y=kx+b经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式:Ax+Bx+C=0(A、B、C是常数,且A、B不同时为0).如图1,点P(m,n)到直线l:Ax+Bx+C=0的距离(d)计算公式是:d= .
例:求点P(1,2)到直线y= x-的距离d时,先将y= x-化为5x-12y-2=0,再由上述距离公式求得d= = .
解答下列问题:
如图2,已知直线y=-x-4与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=x2-4x+5上的一点M(3,2).
(1)求点M到直线AB的距离.
(2)抛物线上是否存在点P,使得△PAB的面积最小?若存在,求出点P的坐标及△PAB面积的最小值;若不存在,请说明理由.
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