题目
题型:不详难度:来源:
(1)求该二次函数的解析式;
(2)当y>﹣3,写出x的取值范围;
(3)A、B为直线y=﹣2x﹣6上两动点,且距离为2,点C为二次函数图象上的动点,当点C运动到何处时△ABC的面积最小?求出此时点C的坐标及△ABC面积的最小值.
答案
∴,解得。
∴二次函数的解析式为:y=x2﹣6x+5。
(2)在y=x2﹣6x+5中,令y=﹣3,即x2﹣6x+5=﹣3,
整理得:x2﹣6x+8=0,解得x1=2,x2=4。
结合函数图象,可知当y>﹣3时,x的取值范围是:x<2或x>4。
(3)设直线y=﹣2x﹣6与x轴,y轴分别交于点M,点N,
令x=0,得y=﹣6;令y=0,得x=﹣2,
∴M(﹣3,0),N(0,﹣6)。
∴OM=3,ON=6,由勾股定理得:MN=,
∴。
设点C坐标为(x,y),则y=x2﹣6x+5。。
过点C作CD⊥y轴于点D,
则CD=x,OD=﹣y,DN=6+y。
过点C作直线y=﹣2x﹣6的垂线,垂足为E,交y轴于点F,
在Rt△CDF中,DF=CD•tan∠MNO=x,。
∴FN=DN﹣DF=6+y﹣x。
在Rt△EFN中,EF=FN•sin∠MNO=(6+y﹣x),
∴CE=CF+EF=x+(6+y﹣x)。
∵C(x,y)在抛物线上,
∴y=x2﹣6x+5,代入上式整理得:CE=(x2﹣4x+11)=(x﹣2)2+。
∴当x=2时,CE有最小值,最小值为。
当x=2时,y=x2﹣6x+5=﹣3,∴C(2,﹣3)。
∴△ABC的最小面积为: AB•CE=×2×=。
∴当C点坐标为(2,﹣3)时,△ABC的面积最小,面积的最小值为。
解析
试题分析:(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式。
(2)求出y=3时x的值,结合函数图象,求出y>﹣3时x的取值范围。
(3)△ABC的底边AB长度为2,是定值,因此当AB边上的高最小时,△ABC的面积最小.如解答图所示,由点C向直线y=﹣2x﹣6作垂线,利用三角函数(或相似三角形)求出高CE的表达式,根据表达式求出CE的最小值,这样问题得解。
核心考点
试题【已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(1,0),(5,0),(3,﹣4).(1)求该二次函数的解析式; (2)当y>﹣3,写出x的取值范围; 】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求抛物线的解析式;
(2)在直线AC上方的抛物线上有一动点D,当D与直线AC的距离DE最大时,求出点D的坐标,并求出最大距离是多少?
(1)直接写出抛物线解析式;
(2)如图,将抛物线向右平移k个单位,设平移后抛物线的顶点为D,与x轴的交点为A、B,与原抛物线的交点为P.
①当直线OD与以AB为直径的圆相切于E时,求此时k的值;
②是否存在这样的k值,使得点O、P、D三点恰好在同一条直线上?若存在,求出k值;若不存在,请说明理由.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设点P(x,y)是第一象限内该抛物线上的一个动点,△PCD的面积为S,求S关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若经过点P的直线PE与y轴交于点E,是否存在以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等?若存在,请求出直线PE的解析式;若不存在,请说明理由.
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