题目
题型:不详难度:来源:
(1)直接写出抛物线解析式;
(2)如图,将抛物线向右平移k个单位,设平移后抛物线的顶点为D,与x轴的交点为A、B,与原抛物线的交点为P.
①当直线OD与以AB为直径的圆相切于E时,求此时k的值;
②是否存在这样的k值,使得点O、P、D三点恰好在同一条直线上?若存在,求出k值;若不存在,请说明理由.
答案
(2)①如图,连接CE,CD,
∵OD是⊙C的切线,∴CE⊥OD。
在Rt△CDE中,∠CED=90°,CE=AC=2,DC=4,
∴∠EDC=30°。
∴在Rt△CDO中,∠OCD=90°,CD=4,∠ODC=30°,
∴OC=。
∴当直线OD与以AB为直径的圆相切时,k=OC=。
②存在k=,能够使得点O、P、D三点恰好在同一条直线上。理由如下:
设抛物线y=﹣x2+4向右平移k个单位后的解析式是y=﹣(x﹣k)2+4,它与y=﹣x2+4交于点P,
由﹣(x﹣k)2+4=﹣x2+4,解得x1=,x2=0(不合题意舍去)。
当x=时,y=﹣k2+4。
∴点P的坐标是(,﹣k2+4)。
设直线OD的解析式为y=mx,把D(k,4)代入,得mk=4,解得m=。
∴直线OD的解析式为y=x。
若点P(,﹣k2+4)在直线y=x上,得﹣k2+4=•,解得k=±(负值舍去)。
∴当k=时,O、P、D三点在同一条直线上。
解析
试题分析:(1)∵抛物线的顶点为(0,4),∴可设抛物线解析式为y=ax2+4。
又∵抛物线过点(2,0),∴0=4a+4,解得a=﹣1。∴抛物线解析式为y=﹣x2+4。
(2)①连接CE,CD,根据切线的性质得出CE⊥OD,再解Rt△CDE,得出∠EDC=30°,然后Rt△CDO,得出OC=,则k=OC=。
②设抛物线y=﹣x2+4向右平移k个单位后的解析式是y=﹣(x﹣k)2+4,它与y=﹣x2+4交于点P,先求出交点P的坐标是(,﹣k2+4),再利用待定系数法求出直线OD的解析式为y=x,然后将点P的坐标代入y=x,即可求出k的值。
核心考点
试题【已知抛物线的顶点为(0,4)且与x轴交于(﹣2,0),(2,0).(1)直接写出抛物线解析式;(2)如图,将抛物线向右平移k个单位,设平移后抛物线的顶点为D,与】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设点P(x,y)是第一象限内该抛物线上的一个动点,△PCD的面积为S,求S关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若经过点P的直线PE与y轴交于点E,是否存在以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等?若存在,请求出直线PE的解析式;若不存在,请说明理由.
(1)求平移后的抛物线的解析式和点D的坐标;
(2)∠ACB和∠ABD是否相等?请证明你的结论;
(3)点P在平移后的抛物线的对称轴上,且△CDP与△ABC相似,求点P的坐标.
(1)判断线段AP与PD的大小关系,并说明理由;
(2)连接OD,当OD与半圆C相切时,求的长;
(3)过点D作DE⊥AB,垂足为E(如图②),设AP=x,OE=y,求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围.
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