题目
题型:不详难度:来源:
∠DCB=30°.点E、F同时从B点出发,沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍,以EF为一边在CB的上方作等边△EFG.设E点移动距离为x(x>0).
⑴△EFG的边长是___________ (用含有x的代数式表示),当x=2时,点G的位置在_______;
⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y,求
①当0<x≤2时,y与x之间的函数关系式;
②当2<x≤6时,y与x之间的函数关系式;
⑶探求⑵中得到的函数y在x取含何值时,存在最大值,并求出最大值.
答案
Ⅱ.当3≤x≤6时,y=x2−;(3)当 x=时,y最大=.
解析
试题分析:(1)根据等边三角形的三边相等,则△EFG的边长是点E移动的距离;根据等边三角形的三线合一和F点移动速度是E点移动速度的2倍,即可分析出BF=4,此时等边三角形的边长是2,则点G和点D重合;
(2)①当0<x≤2时,重叠部分的面积即为等边三角形的面积;
②当2<x≤6时,分两种情况:当2<x<3时和当3≤x≤6时,进行计算;
(3)分别求得(2)中每一种情况的最大值,再进一步比较取其中的最大值即可.
试题解析:
解:(1)∵点E、F同时从B点出发,沿射线BC向右匀速移动,且F点移动速度是E点移动速度的2倍,
∴BF=2BE=2x,
∴EF=BF-BE=2x-x=x,
∴△EFG的边长是x;
过D作DH⊥BC于H,得矩形ABHD及直角△CDH,连接DE、DF.
在直角△CDH中,∵∠C=30°,CH=BC-AD=3,
∴DH=CH•tan30°=3×=.
当x=2时,BE=EF=2,
∵△EFG是等边三角形,且DH⊥BC交点H,
∴EH=HF=1.
∴DE=DF==2,
∴△DEF是等边三角形,
∴点G的位置在D点.
(2)①当0<x≤2时,△EFG在梯形ABCD内部,所以y=;
②分两种情况:
Ⅰ.当2<x<3时,如图1,点E、点F在线段BC上,
△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM,
∵∠FNC=∠FCN=30°,∴FN=FC=6-2x.∴GN=3x-6.
∵在Rt△NMG中,∠G=60°,GN=3x-6,
∴GM=(3x-6),
由勾股定理得:MN=(3x-6),
∴S△GMN=×GM×MN=×(3x-6)×(3x-6)=(3x-6)2,
所以,此时y=-(3x-6)2=;
Ⅱ.当3≤x≤6时,如图2,点E在线段BC上,点F在射线CH上,
△EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP,
∵EC=6-x,
∴y=(6-x)2=x2−;
(3)当0<x≤2时,
∵y=x2,在x>0时,y随x增大而增大,
∴x=2时,y最大=;
当2<x<3时,∵y=,在x=时,y最大=;
当3≤x≤6时,∵y=x2−;,在x<6时,y随x增大而减小,
∴x=3时,y最大=.
综上所述:当 x=时,y最大=.
核心考点
试题【如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,BC=6,AD=3,∠DCB=30°.点E、F同时从B点出发,沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.(1,3) | B.(-1,-3) | C.(-2,3) | D.(-1,3) |
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图1,设抛物线的对称轴与x轴交于点D,试在对称轴上找出点P,使△CDP为等腰三角形,请直接写出满足条件的所有点P的坐标.
(3)如图2,若点E是线段AB上的一个动点(与A、B不重合),分别连接AC、BC,过点E作EF∥AC交线段BC于点F,连接CE,记△CEF的面积为S,S是否存在最大值?若存在,求出S的最大值及此时E点的坐标;若不存在,请说明理由.
A.0 | B.1 | C.2 | D.4 |
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