题目

题型：不详难度：来源：

如图，在直角坐标平面内，函数y=

m

x

（x＞0，m是常数）的图象经过A（1，4），B（a，b），其中a＞1．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连接AD，DC，CB．
（1）若△ABD的面积为4，求点B的坐标；
（2）求证：DC∥AB；
（3）当AD=BC时，求直线AB的函数解析式．

答案

（1）∵函数y=

m

x

（x＞0，m是常数）图象经过A（1，4），
∴m=4．
∴y=

4

x

，
设BD，AC交于点E，据题意，可得B点的坐标为（a，

4

a

），D点的坐标为（0，

4

a

），E点的坐标为（1，

4

a

），
∵a＞1，
∴DB=a，AE=4-

4

a

．
由△ABD的面积为4，即

1

2

a（4-

4

a

）=4，
得a=3，
∴点B的坐标为（3，

4

3

）；

（2）证明：据题意，点C的坐标为（1，0），DE=1，
∵a＞1，
易得EC=

4

a

，BE=a-1，
∴

BE

DE

=

a-1

1

=a-1，

AE

CE

=

4- 4 a

4 a

=a-1．
∴

BE

DE

=

AE

CE

且∠AEB=∠CED，
∴△AEB∽△CED，
∴∠ABE=∠CDE，
∴DC∥AB；

（3）∵DC∥AB，
∴当AD=BC时，有两种情况：
①当AD∥BC时，四边形ADCB是平行四边形，由（2）得，

BE

DE

=

AE

CE

=a-1，
∴a-1=1，得a=2．
∴点B的坐标是（2，2）．
设直线AB的函数解析式为y=kx+b，把点A，B的坐标代入，
得

4=k+b 2=2k+b

，
解得

k=-2 b=6

．
故直线AB的函数解析式是y=-2x+6．
②当AD与BC所在直线不平行时，四边形ADCB是等腰梯形，则BD=AC，
∴a=4，
∴点B的坐标是（4，1）．
设直线AB的函数解析式为y=kx+b，把点A，B的坐标代入，
得

4=k+b 1=4k+b

，
解得

k=-1 b=5

，
故直线AB的函数解析式是y=-x+5．
综上所述，所求直线AB的函数解析式是y=-2x+6或y=-x+5．