题目

题型：不详难度：来源：

整数x₀，x₁，x₂，x₃，…，x₂₀₀₃满足条件：x₀=0，|x₁|=|x₀+1|，|x₂|=|x₁+1|，|x₃|=|x₂+1|，…，|x₂₀₀₃|=|x₂₀₀₂+1|．
（1）试用仅含x₂₀₀₃的代数式表示|x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₀₂+x₂₀₀₃|，
（2）求|x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₀₂+x₂₀₀₃|的最小值．

答案

（1）由已知得：

x 21 = x 20 +2x0+1 x 22 = x 21 +2x1+1 x 23 = x 22 +2x2+1 x 22003 = x 22002 +2x2002+1．

于是x₂₀₀₃²=x₀²+2（x₀+x₁+x₂+x₂₀₀₂）+2003，
又∵x₀=0，
∴2（x₁+x₂+x₂₀₀₃）=x₂₀₀₃²+2x₂₀₀₃-2003=（x₂₀₀₃+1）²-2004，
即|x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₀₂+x₂₀₀₃|=

1

2

|（x₂₀₀₃+1）²-2004|．

（2）由于x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₀₂+x₂₀₀₃为整数，则x₂₀₀₃+1是偶数，
比较|44²-2004|与|46²-2004|的大小，可得：
|x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₀₂+x₂₀₀₃|≥

1

2

|44²-2004|=34．
当x₀=x₂=x₄=x₁₉₆₀=0，x₁=x₃=x₅=x₁₉₅₉=-1，x₁₉₆₁=1，x₁₉₆₂=2，x₁₉₆₃=3，x₂₀₀₃=43时，等号成立．
所以|x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₀₂+x₂₀₀₃|的最小值为34．