题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知关于x的方程x²-2mx+

1

4

n²=0，其中m、n分别是一个等腰三角形的腰和底边．
（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根．
（2）若方程的两根x₁、x₂满足丨x₁-x₂丨=8，且等腰三角形的面积为4，求m、n的值．

答案

（1）∵方程x²-2mx+

1

4

n²=0，
∴△=4m²-n²，
又∵m、n分别是一个等腰三角形的腰和底边，所以2m＞n，即三角形任意两边之和大于第三边，
故：4m²＞n²，即△=4m²-n²＞0，
故方程有两个不相等的实数根；

（2）∵x₁+x₂=2m，x₁x₂=

1

4

n²，
又∵|x₁-x₂|=8，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=64，即4m²-n²=64；
∵m，n分别是一个面积为4的等腰三角形的腰与底边的长，
∴S_△=n×

1

2

×

m2- 1 4 n2

=4，
与4m²-n²=64联立方程，解得：n=2，m=

17

；